加法定理の証明［東京大学］を5分で理解する

某大学の入試問題より1問である。
まずは自力で考えてみて欲しい。

sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosαを証明せよ。［東京大学］

解答

上図のような三角形について考える。

まず、sinα、cosα、sinβ、cosβについて考える。

このように抜き出すと、三角比の定義から、
sinα=
cosα=

また、次のようの抜き出すと、同様に、

sinβ=
cosβ=
である。

つまり、sinαcosβ+sinβcosα = + = ...①

ここで、△ABC=(c+d)×1×1/2
※辺BCを底辺と考えている。
また、△ABC=a×b×sin(α+β)×1/2
※2辺とその間のsinで考えている。sin(α+β)に関する証明であるから、sin(α+β)をどうにかして出す必要がある。

すなわち、(c+d)×1×1/2 = a×b×sin(α+β)×1/2
よって、sin(α+β)= ...②

①,②より、題意は示された。

補足
一見、辺の長さが1に縛られているように見えるが、実はそうではない。今回辺の長さを1としたところを1と考えた時、a,b,c,dがそれに何倍されているか、で考えれば良い。
三角比は相似な図形から考えられるから、無理やりその辺の長さを1としてやれば、どのような三角形であれ、証明されたことになるのである。

その辺の長さを1と定め、その比率でa,b,c,dを定義し、後は三角形を拡大しようと縮小しようとsinの値は変わらない。