相加・相乗平均
相加・相乗平均は、最大最小の基礎的方法のひとつ。
最大最小の問題は、7割が関数化による単調性の発見。のこり3割は相加・相乗平均と思って良い。
もっとも、分数関数を描ける理系諸君に相加・相乗平均など要らないのだが...。
・相加・相乗平均とは
相加・相乗平均とは、とある負でない実数a,bにおいて、
≧√ab
もしくは、a+b≧2√ab
が成り立つということである。
また、等号が成立するとき、a=bである。
相加平均とは、のことを、
相乗平均とは、√abのことを表す。
私達が生活でよく使うのは相加平均の方である。
いくつかやってみると分かるが、相加平均≧相乗平均が成り立つ。
テストの点などでやってみて欲しい。
また、これは値が3つ、4つと増えていくと、相加平均では分母も伴って増えていく。相乗平均では、三乗根、四乗根と増えていくことになる。
・相加・相乗平均を証明しよう
証明1
(√a-√b)² = a+b-2√ab≧0
よって、a+b≧2√ab
等号成立は、√a-√b=0、よって、a=bである。
証明2
上図のような円をとる。
直径はa+bであるから、半径は
また、図に√abと示したところは、方べきの定理より、xとおくと、x²=abより、x=√abである。(∵ab>0)
等号成立は√ab=、すなわち、a=bである。
・相加・相乗平均の使い方
まず、相加・相乗平均は、比べる数が0より大きいことが条件であるから、問題文にx≧0、y≧0などがあったら疑うべきである。
例1)x>0とするとき、x+の最小値を求めよ。
x>0、>0だから、相加・相乗平均の大小関係より、
x+≧2√x×
= 8
よって、最小値8。
オーソドックスなパターン。分数関数化しても良いが、かけてxが消えることに着目すると良い。
例2)は、x>0を満たす。xはいくつで最小値いくつをとるか。求めよ。
(与式) = x-4+
ここで、x>0、>0だから、相加・相乗平均より、
x+ ≧ 2√x×
= 2√3
等号成立はx=より、x=√3(∵x>0)
以上より、x-4+ ≧ 2√3-4
よって、x=√3で最小値2√3-4
一次式が分母、二次式が分子となり、分数がひとつ、分数でない変数がひとつの式の形にできる時も相加・相乗平均は役立つ。複二次方程式の場合もこれは使えるテクニックである。項にかけるとちょうど文字が消える2数があるかどうかがポイントとなる。
例3)a>0、b>0であるとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
(a+)(b+
)≧4
(与式) = ab+1+1+ = ab+
+2
ここでab>0、>0だから、相加・相乗平均より、ab+
≧ 2√ab×
= 2
等号成立は、ab=より、ab=1で最小値を取る。
よって、(与式)≧4
abと1/abが出てくるのが明らかに怪しい。かけるとabが消える、つまりかけると文字が消える2数は相加・相乗平均を使う。
・理系は分数関数でゴリ押そう
h(x) = であるとき、
h'(x) = である。
これを利用し、極値を求めてやれば良いのである。
また、h(x) = が、x=aで極値をとる時、その値は
であるという公式(安田の公式)を利用して、最小値を求めていく。
例3) は、x>0を満たす。xはいくつで最小値いくつをとるか。求めよ。
メジアン数学より1問。メジアンはⅠAⅡBであるから分数関数は使わない前提であるが、折角だし分数関数で機械的に解かせていただこう。
h(x) = =
とすると、
h'(x) = h'(x) = =
=
極値では、h'(x) = 0 = より、x=±√3。ここで、x>0より、x=√3。
x=√3で極値をとるから、√3=aとすると、h(x)の極値での値は、 = 2√3-4
よって、x=√3で最小値2√3-4
・まとめ
特に文系では必ずと言っていいほど使うスキルなので、必ず使い所を覚えておくようにすると良い。
比べる2数が0より大きいとき、最小値を出す時に使うということ、また、等号成立は比べる2数が同じになる時ということを覚えておこう。
・+α)相加・相乗平均の一般化
冒頭で少し触れたが、もっと一般的に相加・相乗平均を表すと、
となる。n個の数でも、相加・相乗平均は成り立つのである。
証明
a₁,a₂,a₃,...,の相加平均をM、また、全てかけ合わせたものをNとする。
eˣ≧1+xに、x=-1 (k=1,2,3,...,n)を代入すると、
e^(-1) ≧
これを、k=1,2,3,...,nについて全て作ると、各辺すべて0以上であるから、片々かけあわせると、
したがって、
が示された。
