Memorandum

受験期に向けて

相加・相乗平均

相加・相乗平均は、最大最小の基礎的方法のひとつ。
最大最小の問題は、7割が関数化による単調性の発見。のこり3割は相加・相乗平均と思って良い。

もっとも、分数関数を描ける理系諸君に相加・相乗平均など要らないのだが...。

・相加・相乗平均とは

相加・相乗平均とは、とある負でない実数a,bにおいて、

{\frac{a+b}{2}}≧‪√‬ab

もしくは、a+b≧2‪√‬ab

が成り立つということである。

また、等号が成立するとき、a=bである。

相加平均とは、{\frac{a+b}{2}}のことを、
相乗平均とは、‪√‬abのことを表す。

私達が生活でよく使うのは相加平均の方である。

いくつかやってみると分かるが、相加平均≧相乗平均が成り立つ。

テストの点などでやってみて欲しい。

また、これは値が3つ、4つと増えていくと、相加平均では分母も伴って増えていく。相乗平均では、三乗根、四乗根と増えていくことになる。

・相加・相乗平均を証明しよう

証明1
‪(√‬a-‪√‬b)² = a+b-2‪√‬ab≧0
よって、a+b≧2‪√‬ab

等号成立は、‪√‬a-‪√‬b=0、よって、a=bである。


証明2
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上図のような円をとる。
直径はa+bであるから、半径は{\frac{a+b}{2}}
また、図に‪√‬abと示したところは、方べきの定理より、xとおくと、x²=abより、x=‪√‬abである。(∵ab>0)

等号成立は‪√‬ab={\frac{a+b}{2}}、すなわち、a=bである。

・相加・相乗平均の使い方

まず、相加・相乗平均は、比べる数が0より大きいことが条件であるから、問題文にx≧0、y≧0などがあったら疑うべきである。


例1)x>0とするとき、x+{\frac{16}{x}}の最小値を求めよ。

x>0、{\frac{16}{x}}>0だから、相加・相乗平均の大小関係より、
x+{\frac{16}{x}}≧2‪√‬x×{\frac{16}{x}} = 8
よって、最小値8。
オーソドックスなパターン。分数関数化しても良いが、かけてxが消えることに着目すると良い。


例2){\frac{x^2-4x+3}{x}}は、x>0を満たす。xはいくつで最小値いくつをとるか。求めよ。

(与式) = x-4+{\frac{3}{x}}
ここで、x>0、{\frac{3}{x}}>0だから、相加・相乗平均より、
x+{\frac{3}{x}} ≧ 2‪√‬x×{\frac{3}{x}} = 2‪√‬3
等号成立はx={\frac{3}{x}}より、x=‪√‬3(∵x>0)
以上より、x-4+{\frac{3}{x}} ≧ 2‪√‬3-4

よって、x=‪√‬3で最小値2‪√‬3-4
一次式が分母、二次式が分子となり、分数がひとつ、分数でない変数がひとつの式の形にできる時も相加・相乗平均は役立つ。複二次方程式の場合もこれは使えるテクニックである。項にかけるとちょうど文字が消える2数があるかどうかがポイントとなる。


例3)a>0、b>0であるとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
(a+{\frac{1}{b}})(b+{\frac{1}{a}})≧4

(与式) = ab+1+1+{\frac{1}{ab}} = ab+{\frac{1}{ab}}+2
ここでab>0、{\frac{1}{ab}}>0だから、相加・相乗平均より、ab+{\frac{1}{ab}} ≧ 2‪√‬ab×{\frac{1}{ab}} = 2
等号成立は、ab={\frac{1}{ab}}より、ab=1で最小値を取る。
よって、(与式)≧4
abと1/abが出てくるのが明らかに怪しい。かけるとabが消える、つまりかけると文字が消える2数は相加・相乗平均を使う。

・理系は分数関数でゴリ押そう

h(x) = {\frac{f(x)}{g(x)}} であるとき、
h'(x) = {\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}} である。

これを利用し、極値を求めてやれば良いのである。

また、h(x) = {\frac{f(x)}{g(x)}} が、x=aで極値をとる時、その値は {\frac{f'(a)}{g'(a)}} であるという公式(安田の公式)を利用して、最小値を求めていく。


例3) {\frac{x^2-4x+3}{x}}は、x>0を満たす。xはいくつで最小値いくつをとるか。求めよ。

メジアン数学より1問。メジアンはⅠAⅡBであるから分数関数は使わない前提であるが、折角だし分数関数で機械的に解かせていただこう。


h(x) = {\frac{f(x)}{g(x)}} = {\frac{x^2-4x+3}{x}} とすると、
h'(x) = h'(x) = {\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}} = {\frac{(2x-4)x-1(x^2-4x+3)}{x^2}} = {\frac{x^2-3}{x^2}}

極値では、h'(x) = 0 = {\frac{x^2-3}{x^2}} より、x=±‪√‬3。ここで、x>0より、x=‪√‬3。

x=‪√‬3で極値をとるから、‪√‬3=aとすると、h(x)の極値での値は、{\frac{f'(a)}{g'(a)}} = 2‪√‬3-4

よって、x=‪√‬3で最小値2‪√‬3-4

・まとめ

特に文系では必ずと言っていいほど使うスキルなので、必ず使い所を覚えておくようにすると良い。

比べる2数が0より大きいとき、最小値を出す時に使うということ、また、等号成立は比べる2数が同じになる時ということを覚えておこう。

・+α)相加・相乗平均の一般化

冒頭で少し触れたが、もっと一般的に相加・相乗平均を表すと、
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となる。n個の数でも、相加・相乗平均は成り立つのである。

証明
a₁,a₂,a₃,...,a_nの相加平均をM、また、全てかけ合わせたものをNとする。

eˣ≧1+xに、x={\frac{a(k)}{M}}-1 (k=1,2,3,...,n)を代入すると、

e^({\frac{a(k)}{M}}-1) ≧ {\frac{a(k)}{M}}

これを、k=1,2,3,...,nについて全て作ると、各辺すべて0以上であるから、片々かけあわせると、
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したがって、
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が示された。

ただしeは自然対数の底(ネイピア数)とする。

・練習問題

自作ではないです。

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加法定理の証明［東京大学］を5分で理解する

某大学の入試問題より1問である。
まずは自力で考えてみて欲しい。

sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosαを証明せよ。［東京大学］

解答

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上図のような三角形について考える。

まず、sinα、cosα、sinβ、cosβについて考える。
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このように抜き出すと、三角比の定義から、
sinα= {\frac{c}{a}}
cosα= {\frac{1}{a}}

また、次のようの抜き出すと、同様に、
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sinβ= {\frac{d}{b}}
cosβ= {\frac{1}{b}}
である。

つまり、sinαcosβ+sinβcosα = {\frac{c}{ab}}+{\frac{d}{ab}} = {\frac{c+d}{ab}} ...①


ここで、△ABC=(c+d)×1×1/2
※辺BCを底辺と考えている。
また、△ABC=a×b×sin(α+β)×1/2
※2辺とその間のsinで考えている。sin(α+β)に関する証明であるから、sin(α+β)をどうにかして出す必要がある。

すなわち、(c+d)×1×1/2 = a×b×sin(α+β)×1/2
よって、sin(α+β)= {\frac{c+d}{ab}} ...②

①,②より、題意は示された。

補足
一見、辺の長さが1に縛られているように見えるが、実はそうではない。今回辺の長さを1としたところを1と考えた時、a,b,c,dがそれに何倍されているか、で考えれば良い。
三角比は相似な図形から考えられるから、無理やりその辺の長さを1としてやれば、どのような三角形であれ、証明されたことになるのである。

その辺の長さを1と定め、その比率でa,b,c,dを定義し、後は三角形を拡大しようと縮小しようとsinの値は変わらない。

組立除法

受験数学の計算問題や、模試の計算問題で必ずと言っていいほど出てくる、組立除法を学ぼう。



・組立除法とは

整式同士の割り算をスムーズにするテクニックのひとつ。原理については触れる必要は無い。やり方を機械的に覚えてしまおう。


例)x⁴-x³-4x²+5x-2を、x-2で割った商と余りを求めなさい。

手順1
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上図のような土台を用意する。

手順2
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上図のような規則で枠に数字を入れていく。
左から、高次の係数を入れていく。
なお、逆Ｌのような枠には、x-aで割る場合、aを入れる。
今回はx-2で割るので2を入れる。
x⁴+3x²+2x+1のように、抜けている次数がある場合は、x⁴+0x³+3x²+2x+1とし、枠には0を記入する。

手順3
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上図のように左から処理していく。
赤矢印は足し算を、青矢印は2倍していることを示す。
※x-aで割る場合。青矢印ではa倍することとなる。

手順4
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1番右を余りとし、それ以外は商である。また、商を出す際は、次数をひとつさげる。
なので、上図において商はx³+x²-2x+1、余りは0である。

・組立除法演習

(1)x³+2x²+4x+3をx-2で割った商とあまりを求めなさい。

(2)x⁴+x³+x²-1をx+1で割った商とあまりを求めなさい。

(3)3x³+7x²-x-1を3x+1で割った商とあまりを求めなさい。

二重根号処理入門








・二重根号とは

その名の通り、‪√‬の中に‪√‬が入っている根号のこと。

例えば、‪√‬(3+‪√‬2)などがそれに当てはまる。

※当サイトでは‪√‬の中に入っているかどうかを分別するため、‪√‬の中に多項式が入った場合は中を括弧で括ることとする。

このような数字が出てくると、数学的に非常に都合が悪い。

だから、できる限り二重根号は外しておきたいのだ。

・二重根号の外し方

とは言え、全ての二重根号がそう都合よく外れはしない。

もちろん、受験で問われるのは絶対に外れるものなので安心して欲しい。

二重根号を外す際は、‪√‬(‪√‬a+‪√‬b)²=‪√‬(a+b+2‪√‬ab)を利用して外す。

つまり、二重根号‪√‬(A+2‪√‬B)において、足してAになり、かけてBになる2数を探せば良いのである。


例1) ‪普通パターン
√‬(15+2‪√‬56) = ‪√‬(7+8+2‪√‬(7×8)) = ‪√‬(‪√‬7+√‬8)² = ‪√‬7+‪√‬8
二重根号の中がなにかの二乗の形で表されるような式変形をする。


例2) マイナスパターン
‪√‬(8-2‪√‬15) = ‪√‬(5+8-2‪√(‬5×3)) = ‪√‬(‪√‬8-‪√3)² = ‪√‬8-‪√‬3
-のパターンの時も変わらず、今度は(‪√‬a- ‪√‬b)²を利用するようにする。またこの際、大きい数字-小さい数字にすること。
小さい数字-大きい数字にすると‪√‬の中の値がマイナスをとり、虚数となってしまうためである。


例3) 係数2がないパターン1
‪√‬(11-‪√‬40) = ‪√‬(11-2‪√‬10) = ‪√‬(‪10+1-2‪√‬10×1) = ‪√‬(‪√‬10-‪√‬1)² = ‪√‬10-1
‪√‬の中から2‪√‬の形を作れると良い。


例4) 係数2がないパターン2
‪√‬(5-‪√‬21) = ‪√‬((2×5-2‪√‬21)/2) = ‪√‬((7+3-2‪√‬7×3)/2) = ‪√‬7-‪√‬3/‪√‬2 = ‪√14-‪√‬6/2
‪√‬の中から2‪√‬の形が作り出せない時、分母に2をつけることにより、無理やり2を作り出す。

・二重根号が外せる条件

二重根号が外せる時にはとある条件が存在する。

二重根号が外せる時、二重根号‪√‬(A±2‪√‬B)において、A²-4Bが平方数になるという決まりがある。そうでないとき、外すことはできない。


証明) 足してA、かけてBになる自然数a,bが存在すれば良い。
この時、(x-a)(x-b) = x²-(a+b)x+ab = x²-Ax+B =0が、自然数の解を持てばいい。また、解はx=a,bのふたつである。

これが自然数となるためには、判別式が平方数とならなくてはならない。よって、A²-4Bが平方数になる。


例5) 外せるか、外せないか
‪√‬(5-‪2√‬6)において、A=5,B=6とすると、
A²-4B=25-24=1。1は平方数なので、外せる。


例6) 外せるか、外せないか
‪√‬(7+2‪√‬5)において、A=7,B=5とすると、
A²-4B=49-25=24。24は平方数では無いので、外せない。

・練習問題

(1)‪√‬(13+√‬168)の二重根号を外しなさい。

(2)‪√‬(6-2‪√‬5)の二重根号を外しなさい。

(3)‪√‬(2-‪√‬3)の二重根号を外しなさい。

(4)‪√‬(7-‪√‬(21+‪√‬80))の二重根号を外しなさい。

(5) (‪√‬(7-4‪√‬3))²⁰¹²(‪√‬(7+4‪√‬3))²⁰¹⁰を計算しなさい。

解説は動画をご覧下さい。